CONCEPTO FUNDAMENTAL
En matemática, el concepto de límite es una noción
topológica que formaliza
la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función
se acercan a determinado valor.
En Calculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite
parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio
euclídeo, es la clase de conjuntos
abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de
límite.
v LIMITES DE UNA SUCESION…
Una
sucesión tiene límite, si sus términos van tomando valores cada vez más
próximos a una cierta cantidad que llamamos límite de la sucesión.
Una
característica de esta cantidad es, que los términos de la sucesión nunca
llegan a alcanzarla, a pesar de que pueden acercarse a ella tanto como queramos.
Expresado
de una forma más precisa decimos que una sucesión an tiene límite j si la
distancia de an a j se hace más pequeña que un valor que nosotros
escojamos: e épsilon (por pequeño que sea éste) desde un término de
la sucesión en adelante: lim an = j
EJEMPLOS:
v LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL...
Se
llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no
vacío S de R en R
Una
función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede
expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable
independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.
Considérese
la función definida por: y= f(x) = 2x²-x-1/x-1 ; x 1 el único punto
en el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos
a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a
la siguiente pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando x se
aproxima a 1?
Cuando
x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de
1 (valores mayores que 1).
a
medida que los valores de x, se “acercan” a 1, sin tomar el valor de 1,
los valores de f(x) se “acercan” a 3. Dándole a la palabra límite un
significado intuitivo, se dice que:
El
“límite” de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmación anterior frecuentemente
se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas:
F (x) =3 cuando x–>1 (se lee: f(x) tiende a 3 cuando x tiende a 1).
EJEMPLOS:
x—-2
LIMITES LATERALES…
Tomemos ahora un punto x del
dominio de f aproximándose a c, pero tomando sólo valores más
grandes que él.
Formalmente estaríamos
tomando los x que verifican para ciertos.
EJEMPLOS:
